KONGRUENSI LINEAR bab 4

BAB IV

KONGRUENSI LINEAR

4.1 Kongruensi Linear 

          Kongruensi mempunyai beberapa sifat yang sama dengan persamaan dalam Aljabar. Dalam Aljabar, masalah utamanya adalah menentukan akar-akar persamaan yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = 0, f(x) adalah polinomial. Demikian pula halnya dengan kongruensi, permasalahannya adalah menentukan bilangan bulat x sehingga mememnuhi kongruensi

 f(x)  0 (mod m)

Definisi 4.1

Jika r₁, r₂, r₃, ... r_m adalah suatu sistem residu lengkap modulo m. Banyaknya selesaian dari kongruensi f(x)  0 (mod m) adalah banyaknya r_i sehingga f(r_i)  0 (mod m)

Contoh:

1.    f(x) = x³ + 5x – 4  0 (mod 7)

Jawab

Selesaiannya adalah x = 2, karena

f(2) = 2³ + 5(2) – 4 = 14  0 (mod 7)

Ditulis dengan x  2 (mod 7).

Untuk mendapatkan selesaian kongruensi di atas adalah dengan mensubstitusi x dari 0, 1, 2, 3, ...., (m-1).

2.    x³ –2x + 6   0 (mod 5)

Jawab

Selesaiannya adalah x = 1 dan x = 2, sehingga dinyatakan dengan

x  1 (mod 5) dan x  2 (mod 5).

3.    x² + 5  0 (mod 11)

Jawab

Tidak mempunyai selesaian, karena tidak ada nilai x yang memenuhi kongruensi tersebut.

          Bentuk kongruensi yang paling sederhana adalah kongruensi yang berderajat satu dan disebut dengan kongruensi linear. Jika dalam aljabar kita mengenal persamaan linear yang berbentuk ax = b, a 0, maka dalam teori bilangan dikenal kongruensi linear yang mempunyai bentuk ax  b (mod m).

 

Definisi 4.2

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear mempunyai bentuk umum ax  b (mod m), dengan a,b,m  Z , a 0, dan m > 0.

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear mempunyai bentuk umum ax  b (mod m), dengan a,b,m  Z , a 0, dan m > 0.

 

Teorema 4.1

Kongruensi linear ax  b (mod m), dengan a,b,m  Z , a 0, dan m > 0. dapat diselesaikan jika d = (a,m) membagi b. Pada kasus ini memiliki selesaian. Jika (a,m) = 1, maka kongruensi linear ax  b (mod m) hanya mempunyai satu selesaian.

Bukti.

Kongruensi linear ax  b (mod m) mempunyai selesaian, berarti m │ax – b.

Andaikan  d ┼b.

d = (a,b) → d │a   → d │ax.

d │ax. dan d ┼b  → d ┼ ax – b.

d= (a,m) → d │m.

d │m  dan d ┼b  → m ┼ ax – b.

m ┼ ax – b bertentangan dengan m │ax – b, Jadi d │b.

Diketahui d │b dan d = (a,m) → d │a   → d │m.

d │a  , d │m, dan d │b → , , dan   Z.

ax  b (mod m) → m │ax – b.

m │ax – b dan , ,  →│( - )

│ -  →    (mod ).

Misal selesaian kongruensi    (mod ) adalah x  x_o; x_o < , maka sebarang selesaiannya berbentuk x = x_o + k., k  Z, yaitu:

x = x_o + k., x = x_o + k., x = x_o + k., ..... , x = x_o + k..

dimana seluruhnya memenuhi kongruensi dan seluruhnya mempunyai d selesaian.

Jika (a,d) = 1, maka selesaiannya didapat x = x_o yang memenuhi kongruensi dan mempunyai satu selesaian.

Contoh:

1.    7x  3 (mod 12)

Jawab

Karena (7,12) = 1, atau 7 dan 12 relatif prima  dan 1 │ 3 maka 7x  3 (mod 12)

Hanya mempunyai 1 selesaian yaitu x  9 (mod 12)

2.    6x  9 (mod 15)

Jawab

Karena (6,15) = 3 atau 6 dan 15 tidak relatif prima dan 3│ 9, maka kongruensi di atas mempunyai 3 selesaian (tidak tunggal).

Selesaian kongruensi linear 6x  9 (mod 15) adalah

x  9 (mod 15),  x  9 (mod 15), dan x  14 (mod 15).

3.    12x  2 (mod 18)

Jawab

Karena (18,12) = 4 dan 4 ┼ 2, maka kongruensi 12x  2 (mod 18) tidak mempunyai selesaian.

4.    144x  216 (mod 360)

Jawab

Karena (144,360) = 72 dan 72│ 216, maka kongruensi 144x  216 (mod 360) mempunyai 72 selesaian.

Selesaian tersebut adalah x  4 (mod 360), x  14 (mod 360), .... , x  359 (mod 360).

5.    Bila kongruensi 144x  216 (mod 360) disederhanakan dengan menghilangkan faktor d, maka kongruensi menjadi 2x  3 (mod 5). Kongruensi 2x  3 (mod 5) hanya mempunyai satu selesaian yaitu x  4 (mod 5).

          Pada kongruensi ax  b (mod m) jika nilai a,b, dan m besar, akan memerlukan penyelesaian yang panjang, sehingga perlu disederhanakan penyelesaian tersebut.

ax  b (mod m) ↔ m│ (ax –b) ↔ (ax-b) = my, y  Z.

ax – b = my  ↔ my + b = ax ↔ my  - b (mod a) dan mempunyai selesaian y_o.

Sehingga dari bentuk my + b = ax dapat ditentukan bahwa my_o + b adalah kelipatan dari.

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk:

my_o + b = ax ↔ x_o =

Contoh.

1.    Selesaikan kongruensi  7x  4 (mod 25)

Jawab

      7x    4 (mod 25)

      25y  -4 (mod 7)

      4y   -4 (mod 7)

        y    -1(mod 7)

        y_o = -1 sehingga x_o =  = -3

     Selesaian kongruensi linear di atas adalah

     x  -3 (mod 25)

     x  22 (mod 25)

2.    Selesaikan kongruensi  4x  3 (mod 49)

Jawab

      4x    3 (mod 49)

      49y  -3 (mod 4)

      4y   -3 (mod 4)

        y    -3 (mod 7)

        y_o = -3 sehingga x_o =  = -36

     Selesaian kongruensi linear di atas adalah

     x  -36 (mod 49)

     x  13 (mod 25)

Cara di atas dapat diperluas untuk menentukan selesaian kongruensi linear dengan

Menentukan y_o dengan mencari z_o

Menentukan w_o dengan mencari w_o

Menentukan v_o dengan mencari w_o, dan seterusnya.

Contoh

1.    Selesaikan kongruensi  82x  19 (mod 625)

Jawab

      82x    19 (mod 625)

      ----------------------------

      625y  -19 (mod 82)

        51y  -19 (mod 82)

     -----------------------------

        82z  19 (mod 51)

        31z  19 (mod 82)

     -----------------------------  

        51v  -19 (mod 31)

        20v  -19 (mod 31)

     -----------------------------

       31w  19 (mod 20)

        11w  19 (mod 20)

     -----------------------------

        20r  -19 (mod 11)

          9r  -19 (mod 11)

          9r   3 (mod 11)

     -----------------------------

      11s   -3 (mod 9)

        2s  -3 (mod 9)

     -----------------------------

       9t  3 (mod 2)

        t  3 (mod 2)

     -----------------------------

Jadi to = 3, sehingga:

s_o = (9t_o-3)/2 = (27-3)/2 = 12

r_o = (11s_o+3)/9 = (132+3)/9 = 15

w_o = (20r_o+19)/11 = (300+19)/11 = 29

v_o = (31w_o-19)/20 = (899-19)/20 = 44

z_o = (51v_o+19)/31 = (2244 +19)/31 = 73

y_o = (82z_o-19)/51 = (5986-19)/51 = 117

x_o = (625y_o+19)/82 = (73126+19)/82 = 892

Selesaian kongruensi di atas adalah

x  892 ( mod 625) atau x  267 ( mod 625)

 

Teorema 4.2  

Jika (a,m) = 1 maka kongruensi linear ax  b (mod m) mempunyai selesaian x = a^(m)-1b, dimana (m) adalah banyaknya residu didalam sistem residu modulo m tereduksi.

Bukti.

Menurut teorem Euler jika (a,m) = 1 maka a^(m)-1 = 1.

ax  b (mod m)

a. a^(m)-1 .x  b a^(m)-1 (mod m)

a ^(m)    b a^(m)-1 (mod m)

Karena a ^(m)  1 (mod m)  dan  a ^(m)  x  b a^(m)-1 (mod m)

Maka 1.x   b a^(m)-1 (mod m)

x   b a^(m)-1 (mod m)

x   a^(m)-1 b (mod m)

Contoh

1. Selesaikan  5x    3 (mod 13)

    Jawab

    Karena (5,13) = 1

    Maka kongruensi linear 5x    3 (mod 13) mempunyai selesaian

    x  3.5 ^{(13) –1} (mod 13)

         3.5 ^{12 –1} (mod 13)

            3.(5² )⁵.5 (mod 13)

            3.(-1)⁵  5 (mod 13), karena 5²  -1 (mod 13)

            11 (mod 13)

4.2 Kongruensi Simultan

Sering kita dituntut secara simultan untuk menentukan selesaian yang memenuhi sejumlah kongruensi. Hal ini berarti dari beberapa kongruensi linear yang akan ditentukan selesaiannya dan memenuhi masing-masing kongruensi linear pembentuknya.

Contoh

1.    Diberikan dua kongruensi (kongruensi simultan)

x  3 (mod 8)

x  7 (mod 10)

Karena x  3 (mod 8), maka  x = 3 + 8t (tZ).

Selanjutnya x = 3 + 8t  disubstitusikan ke x  7 (mod 10), maka diperoleh

3 + 8t  7 (mod 10) dan didapat

8t  7-3 (mod 10)

8t  4 (mod 10)

Karena (8,10) = 2 dan 2 │4 atau 2 │7-3, maka kongruensi 8t  4 (mod 10) mempunyai dua selesaian bilangan bulat modulo 10 yaitu

8t  4 (mod 10)

4t  2 (mod 5)

t  3 (mod 5)

Jadi t  3 (mod 5) atau  t  8 (mod 10)

Dari t  3 (mod 5)  atau t = 3 + 5r (rZ) dan t  8 (mod 10) atau x = 3 + 8t

Selanjutnya dapat dicari nilai x sebagai berikut:

x = 3 + 8t

   = 3 + 8(3+5r)

   = 3 + 24 + 40r

   = 27 + 40r atau x  27 (mod 40) atau x  27 (mod [8,10])

2.    Diberikan kongruensi simultan

x  15 (mod 51)

x  7 (mod 42)

Selesaian

Karena (51,42) = 3  dan 15/ 7 (mod 3) atau 3 ┼ 15 –7 , maka kongruensi simultan di atas tidak mempunyai selesaian.

Teorema 4.3

Kongruensi simultan

x  a (mod m)

x  b (mod n)

dapat diselesaikan jika

a  b (mod (m,n)) dana memiliki selesaian tunggal

x  x_o (mod [m,n])

Bukti

Diketahui

x  a (mod m)

x  b (mod n)

Kongruensi pertama  x  a (mod m) → x = a + mk, k Z.

Kongruensi kedua harus memenuhi a + mk  b (mod n) atau mk  b-a (mod n)

Menurut teorema sebelumnya mk  b-a (mod n) dapat diselesaikan jika

d │b-a, d = (m,n) atau dengan kata lain kondisi kongruensi a  b (mod (m,n)) harus dipenuhi.

d = (m,n) → d │ m dan d │m.

Jika  d│ m dan d │m maka , ,   Z.

, ,   Z dan mk  b-a (mod n) mengakibatkan

   ( mod )

Dari teorema sebelumnya jika d = (m,n) maka (, ) = 1

Jika (, ) = 1 dan    ( mod ), maka

   ( mod ) mempunyai 1 selesaian.

Misalkan selesaian yang dimaksud adalah k = k_o sehingga selesaian kongruensi adalah

k  k_o (mod ) atau k = k_o + r, r  Z.

Karena x = a = mk dan k = k_o + r, maka

x = a + mk

   = a + m (k_o + r)

   = ( a + m k_o + r)

  = ( a + m k_o ) + [m,n].r ; sebab [m,n](m,n) = m.n

  = x_o  + [m,n]r, sebab  x_o = ( a + m k_o )

  = x_o  (mod  [m,n]) 

4.3 Teorema Sisa China 

Dalil 4.4

Jika m₁, m₂, m₃, ... , m_r  Z+, dan (m_i,m_j) = 1 untuk i j, maka kongruensi simultan :

x  a₁ ( mod m₁)

x  a₂ ( mod m₂)

x  a₃ ( mod m₃)

.........................

.........................

x  a_r ( mod m_r)

Mempunyai selesaian persekutuan yang tunggal :

x    a_jb_j (mod [m₁,m₂,m₃,...,m_r]

Bukti

Misal m = m₁, m₂, m₃, ... , m_r

Karena  ( j = 1,2,3, ... , r) adalah bilangan bulat yang tidak memuat m_j, serta (m_i,m_j) =1 untuk i j maka  = 1.

Menurut dalil jika  = 1, maka kongruensi linear 1 (mod m_j) mempunyai 1 selesaian. Karena  masih memuat m_i, maka untuk i j

berlaku   0 (mod m_j).

Dengan memilih t =  a_jb_j , maka

t =  +  + ... +  + ... +

Dalam modulo m_i (i=1,2,3,..., r) t dapat dinyatakan dengan

t  (  +  + ... +  + ... + ) (mod m_i)

t    (mod m_i) + (mod m_i)  + ... +  (mod m_i) + ... + ) (mod m_i)

Karena   1 (mod m_j) dan untuk i j berlaku   0 (mod m_j) maka diperoleh:

  0 (mod mi) untuk i = 1,2,3,..., r. sehingga

  0 (mod mi) untuk i = 1,2,3,..., r.

Jadi t  0 (mod m_i) + 0 (mod m_i) + ...+ a_i (mod m_i) + ... + 0 (mod m_i)

      t  a_i (mod m_i).

Karena i = 1,2,3, ... , r maka

      t  a₁ (mod m₁)

      t  a₂ (mod m₂)

      t  a₃ (mod m₃)

     ......................

      t  a_r (mod m_r).

Hal ini berarti memenuhi semua kongruensi x  a_i (mod m_i). Dengan kata lain t merupakan selesaian persekutuan dari semua kongruensi linear simultan tersebut.

Contoh

1. Tentukan selesaian kongruensi simultan linear berikut:

x  5 (mod 8)

x  3 (mod 7)

x  4 (mod 9)

Jawab

Diketahui a₁ = 5, a₂ = 3, a₃ = 4 dan m₁ = 8, m₂ = 7, m₃ = 9.

Sehingga m = 8.7.9 = 504

(m₁,m₂) = 1, (m₁,m₃) = 1, (m₂,m₃) = 1.

Jadi kongruensi linear simultan memenuhi syarat untuk diselesaikan dengan teorema sisa China

  1 (mod m₁)   b₁  1 (mod 8)

                                   67 b₁  1 (mod 8)

                                        b₁  7

Dengan cara yang sama diperoleh b₂ = 4 dan b₃ = 5 

Jadi x =   a_jb_j

      x = 63.7.5 + 72.4.3 + 56.5.4

         = 4186

     x  4186 (mod [8.7.9])

     x   157 (mod 504)

2. Tentukan selesaian kongruensi

    19x  1 (mod 140)

Jawab

Karena 140 = 4.5.7 , maka kongruensi dapat dipilah menjadi kongruensi   simultan yaitu

19x  1 (mod 4)

19x  1 (mod 5)

19x  1 (mod 7)

Selanjutnya dapat disederhanakan menjadi

    x   3 (mod 4)

    x   4 (mod 5)

    x   3 (mod 7)

Dengan cara seperti contoh 1 di atas diperoleh

x = 899

x  899 (mod 140)

x  59 (mod 140)

Soal-soal

1.    Tentukan selesaian kongruensi linear di bawah ini

a.    3x       2 (mod 5)

b.    7x       4 (mod 25)

c.    12x     2 (mod 8)

d.    6x       9 (mod 15)

e.    36x     8 (mod 102)

f.     8x       12 (mod 20)

g.    144x         216 (mod 360)

2.    Tentukan selesaian kongruensi simultan berikut ini.

a.    12 x     3 (mod 15)

      10 x    14 (mod 8)

b.     x         5 (mod 11)

      x         3 (mod 23)

3. Selesaiakan kongruensi linear dengan metode my_o + b = ax

     ↔ x_o = :

a.    353x      19 ( mod 400)

b.    49x      5000 ( mod 999)

c.    589x     209 ( mod 817)

4. Selesaikan kongruensi linear simulat berikut dengan teorema sisa China.

a.  x  1 (mod 3)

    x   1 (mod 5)

    x   1 (mod 7)

b.    x  2 (mod 3)

    x   3 (mod 5)

    x   5 (mod 2) 

c.    x  1 (mod 4)

    x   0 (mod 3)

    x   5 (mod 7) 

d.    x  1 (mod 3)

    x   2 (mod 4)

    x   3 (mod 5) 

e. 23x  17 (mod 180)    

25 contoh model pembelajaran cooperative learning

25 contoh model pembelajaran cooperative learning

Assalamu'alaikum rekan Acakidul!!!
 Melanjutkan artikel tentang  kali ini Acakidul berikan 25 contoh model pembelajaran cooperative learning atau model pembelajaran kooperatif.  Dalam kegiatan belajar mengajar guru dapat menerapkan beberapa model pembelajaran sesuai dengan kondisi kelas dan materi yang diajarkan. Model Pembelajaran yang efektif untuk diterapkan di kelas adalah pembelajaran kooperatif. Pembelajaran kooperatif atau Cooperative Learning mengacu pada metode pengajaran dimana siswa bekerja bersama dalam satu kelompok kecil, saling membantu dalam belajar. Dalam Pembelajaran kooperatif siswa belajar dalam kelompok-kelompok kecil yang memiliki kemampuan yang berbeda-beda satu sama lain. 

Dengan Model Pembelajaran Cooperative Learning ini mampu merangsang dan menggugah potensi siswa secara optimal dalam suasana belajar pada kelompok-kelompok kecil yang terdiri dari 2 sampai 6 orang siswa. Pada saat siswa belajar dalam kelompok akan berkembang suasana belajar yang terbuka dalam dimensi kesejawatan, karena pada saat itu akan terjadi proses belajar kolaboratif dalam hubungan pribadi yang saling membutuhkan. Pada saat itu juga siswa yang belajar dalam kelompok kecil akan tumbuh dan berkembang pola belajar tutor sebaya (peer group) dan belajar secara bekerjasama (cooperative). 

Berikut ini contoh model pembelajaran kooperatif dengan beberapa tipe yang dapat diterapkan oleh guru dalam pembelajaran di kelas

1. STAD (Student Teams Achievement Division)

Pada model pembelajaran kooperatif tipe STAD ini siswa dikelompokkan ke dalam kelompok kecil yang disebut tim. Kemudian seluruh kelas diberikan presentasi materi pelajaran. Siswa kemudian diberikan tes. Nilai-nilai individu digabungkan menjadi nilai tim. Pada model pembelajaran kooperatif tipe ini walaupun siswa dites secara individual, siswa tetap dipacu untuk bekerja sama untuk meningkatkan kinerja dan prestasi timnya. Bila pertama kali digunakan di kelas anda, maka ada baiknya guru terlebih dahulu memperkenalkan model pembelajaran kooperatif STAD ini kepada siswa. 

2. Round Table atau Rally Table

Untuk menggunakan model pembelajaran kooperatif tipe Round table atau Rally Table ini guru dapat memberikan sebuah kategori tertentu kepada siswa, misalnya kata-kata yang dimulai dengan huruf “a”. Selanjutnya mintalah siswa bergantian menuliskan satu kata secara bergiliran.

3. TAI (Team Assisted Individualization atau Team Accelerated Instruction)

Tipe model pembelajaran kooperatif yang satu ini sebenarnya adalah penggabungan dari pembelajaran kooperatif dengan pembelajaran individual. Pada model pembelajaran kooperatif tipe TAI, siswa mengikuti tingkatan yang bersifat individual berdasarkan tes penempatan, dan kemudian dapat maju ke tahapan selanjutnya berdasarkan tingkat kecepatannya belajar. Jadi, setiap anggota kelompok sebenarnya belajar unit-unit materi pelajaran yang berbeda. Rekan sekelompok akan memeriksa hasil pekerjaan rekan sekelompok lainnya dan memberikan bantuan jika diperlukan. Tes kemudian diberikan diakhir unit tanpa bantuan teman sekelompoknya dan diberikan skor. Lalu setiap minggu guru akan menjumlahkan total unit materi yang diselesaikan suatu kelompok dan memberikan sertifikat atau penghargaan bila mereka berhasil melampaui kriteria yang telah ditetapkan, dan beberapa poin tambahan untuk kelompok yang anggotanya mendapat nilai sempurna. Kelebihan model pembelajaran kooperatif tipe TAI ini adalah karena siswa bertanggungjawab untuk memeriksa pekerjaan rekannya yang lain, maka guru mempunyai waktu yang lebih banyak untuk membantu kelompok-kelompok kecil yang menemuai banyak hambatan dalam belajar yang merupakan kumpulan dari anggota-anggota kelompok yang berada pada tingkatan unit materi pelajaran yang sama. Banyak penelitian melaporkan bahwa model pembelajaran kooperatif tipe TAI ini sangat efektif untuk digunakan dalam pembelajaran.

4. Jigsaw

Jigsaw pertama kali dikembangkan dan diujicobakan oleh Elliot Aronson dan teman-teman di Universitas Texas, dan kemudian diadaptasi oleh Slavin dan teman-teman di Universitas John Hopkins (Arends, 2001). Tujuan diciptakannya tipe model pembelajaran kooperatif Jigsaw ini adalah untuk meningkatkan rasa tanggungjawab siswa terhadap belajarnya sendiri dan juga belajar anggota kelompoknya yang lain. Mereka diminta mempelajari materi yang akan menjadi tanggungjawabnya, karena selain untuk dirinya, ia juga harus mengajarkan materi itu kepada anggota kelompoknya yang lain. Pada model pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw ini ketergantungan antara siswa sangat tinggi. Setiap siswa dalam model pembelajaran kooperatif ini adalah anggota dari dua kelompok, yaitu (1) kelompok asal (home group) dan (2) kelompok ahli (expert group). Kelompok asal dibentuk dengan anggota yang heterogen. Di kelompok asal ini mereka akan membagi tugas untuk mempelajari suatu topik. Setelah semua anggota kelompok asal memperoleh tugas masing-masing, mereka akan meninggalkan kelompok asal untuk membentuk kelompok ahli. Kelompok ahli adalah kelompok yang terbentuk dari anggota-anggota kelompok yang mempunyai tugas mempelajari sebuah topik yang sama (berdasarkan kesepakatan mereka di kelompok asal). Setelah mempelajari topik tersebut di kelompok ahli, mereka akan kembali ke kelompok asal mereka masing-masing dan saling mengajarkan topik yang menjadi tanggungjawab mereka ke anggota kelompok lainnya secara bergantian.

5. Tim Jigsaw

Untuk menggunakan model pembelajaran kooperatif tipe jigsaw, tugaskan setiap siswa pada setiap kelompok untuk mempelajari seperempat halaman dari bacaan atau teks pada mata pelajaran apa saja misalnya PKn, atau seperempat bagian dari sebuah topik yang harus mereka pelajari atau ingat. Setelah setiap siswa tadi menyelesaikan pembelajarannya dan kemudian saling mengajarkan/menjelaskan tentang materi yang menjadi tugasnya atau saling bekerjasama untuk membentuk sebuah kesatuan materi yang utuh saat mereka menyelesaikan sebuah tugas atau teka-teki.

6. Jigsaw II

Tipe model pembelajaran kooperatif yang satu ini adalah modifikasi dari tipe Jigsaw. Jigsaw II dikembangkan oleh Robert Slavin pada tahun 1980 di mana semua anggota kelompok asal mempelajari satu topik yang sama, hanya saja masing-masing anggota difokuskan untuk mendalami bagian-bagian tertentu dari topik itu. Setiap anggota kelompok asal harus menjadi ahli dalam bagian topik yang mereka dalami. Seperti Jigsaw, di tipe Jigsaw II ini mereka juga harus mengajarkan keahliannya pada anggota kelompok asalnya yang lain secara bergantian.

7. Reverse Jigsaw (Kebalikan Jigsaw)

Tipe model pembelajaran kooperatif ini dikembangkan oleh Timothy Hedeen (2003). Perbedaanya dengan tipe Jigsaw adalah, bila pada model pembelajaran kooperatif tipe jigsaw anggota kelompok ahli hanya mengajarkan keahliannya kepada anggota kelompok asal, maka pada model pembelajaran kooperatif reverse jigsaw ini, siswa-siswa dari kelompok ahli mengajarkan keahlian mereka (materi yang mereka pelajari atau dalami) kepada seluruh kelas.

8. NHT (Numbered Heads Together) – Kepala Bernomor Bersama

Pada modelpembelajaran kooperatif tipe NHT, minta siswa untuk menomori diri mereka masing dalam kelompoknya mulai dari 1 hingga 4. Ajukan sebuah pertanyaan dan beri batasan waktu tertentu untuk menjawabnya. Siswa yang mengangkat tangan jika bisa menjawa pertanyaan guru tersebut. Guru menyebut suatu angka (antara 1 sampai 4) dan meminta seluruh siswa dari semua kelompok dengan nomor tersebut menjawab pertanyaan tadi. Guru menandai siswa-siswa yang menjawab benar dan memperkaya pemahaman siswa tentang jawaban pertanyaan itu melalui diskusi.

9. TGT (Team Game Tournament)

Model pembelajaran kooperatif tipe TGT mirip dengan model pembelajaran kooperatif tipe STAD, tetapi bedanya hanya pada kuis yang digantikan dengan turnamen mingguan (Slavin, 1994). Pada model pembelajaran kooperatif ini, siswa-siswa saling berkompetisi dengan siswa dari kelompok lain agar dapat memberikan kontribusi poin bagi kelompoknya. Suatu prosedur tertentu digunakan untuk membuat permainan atau turnamen berjalan secara adil. Penelitian menunjukkan bahwa model pembelajaran kooperatif tipe TGT terbukti efektif meningkatkan hasil belajar siswa.

10. Three-Step Interview (Wawancara Tiga Langkah)

Pada model pembelajaran kooperatif tipe three-step interview (disebut juga three problem-solving) dilakukan 3 langkah untuk memecahkan masalah. Pada langkah pertama guru menyampaikan isu yang dapat memunculkan beragam opini, kemudian mengajukan beberapa pertanyaan-pertanyaan kepada seluruh siswa di kelas. Langkah kedua, siswa secara berpasangan bermain peran sebagai pewawancara dan orang yang diwawancarai. Kemudian, di langkah yang ketiga, setelah wawancara pertama dilakukan maka pasangan bertukar peran: pewawancara berperan sebagai orang yang diwawancarai dan sebaliknya orang yang tadi mewawancarai menjadi orang yang diwawancarai. Setelah semua pasangan telah bertukar peran, selanjutnya setiap pasangan dapat membagikan atau mempresentasikan hasil wawancara mereka kepada seluruh kelas secara bergiliran. Tipe model pembelajaran kooperatif ini (three-step interview) ini efektif untuk mengajarkan siswa problem solving (pemecahan masalah).

11. Three-Minute Review (Reviu Tiga Langkah)

Model pembelajaran kooperatif tipe three-step review efektif untuk digunakan saat guru berhenti pada saat-saat tertentu selama sebuah diskusi atau presentasi berlangsung, dan mengajak siswa mereviu apa yang telah mereka ungkapkan saat diskusi di dalam kelompok mereka. Siswa-siswa dalam kelompok-kelompok itu dapat bertanya untuk mengklarifikasi kepada anggota lainnya atau menjawab pertanyaan-pertanyaan dari anggota lain. Misalnya setelah diskusi tentang proses-proses kompleks yang terjadi di dalam tubuh manusia misalnya pencernaan makanan, siswa dapat membentuk kelompok-kelompok dan mereviu proses diskusi dan mengajukan pertanyaan-pertanyaan untuk mengklarifikasi.

12. GI (Group Investigation)

Group investigation adalah kelompok kecil untuk menuntun dan mendorong siswa dalam keterlibatan belajar. Metode ini menuntut siswa untuk memiliki kemampuan yang baik dalam berkomunikasi maupun dalam keterampilan proses kelompok (group process skills). Langkah-langkah pembelajaran pada model pemelajaran GI sebagai  berikut : 1) Guru  membagi kelas menjadi beberapa kelompok yang heterogen, 2) Guru menjelaskan maksud pembelajaran dan tugas kelompok yang harus dikerjakan, 3) Guru  memanggil ketua-ketuaa kelompok untuk memanggil  materi tugas secara kooperatif dalam kelompoknya, 4) Masing-masing kelompok membahas materi tugaas secara  kooperatif dalam kelompoknya, 5) Setelah selesai, masing-masing  kelompok yang diwakili ketua kelompok  atau salah  satu anggotanya menyampaikan hasil pembahasannya, 6) Kelompok lain  dapat memberikan tanggapan  terhadap hasil pembahasannya, 7) Guru memberikan penjelasan singkat (klarifikasi) bila  terjadi kesalahan  konsep dan memberikan kesimpulan, 8)Evaluasi.


13. Marry Go Round 

Model pembelajaran Kooperatif Tipe Keliling Kelompok (Go Around) ini memberikan kesempatan lebih banyak kepada setiap siswa untuk dikenali dan menunjukkan partisipasi mereka kepada orang lain dalam pemecahan suatu permasalahan. Pembelajaran kooperatif tipe keliling kelompok merupakan cara yang efektif untuk mengubah pola diskusi di dalam kelas yang akan mengaktifkan setiap anggota kelompok. Dimana penerapannya dimulai dari pertama sekali siswa membentuk kelompoknya masing-masing, kemudian masing-masing kelompok diberi waktu 15 menit untuk mempelajari materi yang akan dibahas. Sebelumnya guru telah mempersiapkan pertanyaan yang sesuai dengan indikator (satu buah karton dibuat satu pertanyaan) ditempel di dinding kelas (depan, samping, belakang) dengan jarak tertentu. Setiap kelompok berdiri di depan kertas kartonnya masing-masing, Guru menentukan waktu untuk memulai menulis, Siswa cukup mengisi satu jawaban dengan waktu yang ditentukan guru, Seterusnya tiap kelompok bergilir mengisi jawaban menurut arah jarum jam, dan begitu seterusnya. akhir semua kegiatan diadakan diskusi kelas dan tanya jawab.

14. Reciprocal Teaching (Pengajaran Timbal Balik)

Model pembelajaran kooperatif tipe reciprocal teaching (pengajaran timbal balik) dikembangkan oleh Brown & Paliscar (1982). Pengajaran timbal balik atau reciprocal teaching ini juga merupakan sebuah model pembelajaran kooperatif yang meminta siswa untuk membentuk pasangan-pasangan saat berpartisipasi dalam sebuah dialog (percakapan atau diskusi) mengenai sebuah teks (bahan bacaan). Setiap anggota pasangan akanbergantian membaca teks dan mengajukan pertanyaan-pertanyaan, menerima dan memperoleh umpan balik (feedback). Model pembelajaran tipe reciprocal teaching ini memungkinkan siswa untuk melatih dan menggunakan teknik-teknik metakognitif seperti mengklarifikasi, bertanya, memprediksi, dan menyimpulkan. Model pembelajaran kooperatif tipe reciprocal teaching ini dikembangkan atas dasar bahwa siswa dapat belajar secara efektif dari siswa lainnya. Baca artikel yang lebih rinci tentang model pembelajaran kooperatif tipe reciprocal teaching (pengajaran timbal balik).

15. CIRC (Cooperative Integrated Reading Composition)

Model pembelajaran kooperatif tipe CIRC (cooperative integrated reading composition) adalah sebuah model pembelajaran yang sengaja dirancang untuk mengembangkan kemampuan membaca, menulis, dan keterampilan-keterampilan berbahasa lainnya baik pada jenjang pendidikan tinggi maupun jenjang dasar. Pada tipe model pembelajaran kooperatif yang satu ini siswa tidak hanya mendapat kesempatan belajar melalui presentasi langsung oleh guru tentang keterampilan membaca dan menulis, tetapi juga teknik menulis sebuah komposisi (naskah). CIRC dikembangkan untuk menyokong pendekatan pembelajaran tradisional pada mata pelajaran bahasa yang disebut “kelompok membaca berbasis keterampilan”. Pada model pembelajaran CIRC ini siswa berpasang-pasangan di dalam kelompoknya. Ketika guru sedang membantu sebuah kelompok-membaca (reading group), pasangan-pasangan saling mengajari satu sama lain bagaimana “membaca-bermakna” dan keterampilan menulis melalui teknik reciprocal (timbal balik). Mereka diminta untuk saling bantu untuk menunjukkan aktivitas pengembangan keterampilan dasar berbahasa (misalnya membaca bersuara (oral reading), menebak konteks bacaan, mengemukakan pertanyaan terkait bacaan, menyimpulkan, meringkas, menulis sebuah komposisi berdasarkan sebuah cerita, hingga merevisi sebuah komposisi). Setelah itu, buku kumpulan komposisi hasil kelompok dipublikasikan pada akhir proses pembelajaran. Semua kelompok (tim) kemudian diberikan penghargaan atas upaya mereka dalam belajar dan menyelesaikan tugas membaca dan menulis.

16. The Williams

Tipe model pembelajaran kooperatif The Williams mengajak siswa melakukan kolaborasi untuk menjawab sebuah pertanyaan besar yang merupakan sebuah tujuan pembelajaran. Pada model pembelajaran ini siswa dikelompok-kelompoknya secara heterogen seperti pada tipe STAD. Kemudian setiap kelompok diberikan pertanyaan yang berbeda-beda dengan tujuan untuk meningkatkan kemampuan kognitif yang memungkinkan siswa dapat mencapai tujuan pembelajaran tersebut.

17. TPS (Think Pairs Share)

Model pembelajaran kooperatif tipe TPS (think pairs share) mulanya dikembangkan oleh Frank T. Lyman (1981). Tipe model pembelajaran kooperatif ini memungkinkan setiap anggota pasangan siswa untuk berkontemplasi terhadap sebuah pertanyaan yang diajukan. Setelah diberikan waktu yang cukup mereka selanjutnya diminta untuk mendiskusikan apa yang telah mereka pikirkan tadi (hasil kontemplasi) dengan pasangannya masing-masing. Setelah diskusi dengan pasangan selesai, guru kemudian mengumpulkan tanggapan atau jawaban atas pertanyaan yang telah diajukan tersebut dari seluruh kelas.

18. TPC (Think Pairs Check)

Model pembelajaran kooperatif tipe think pairs-check adalah modifikasi dari tipe think pairs share, di mana penekanan pembelajaran ada pada saat mereka diminta untuk saling cek jawaban atau tanggapan terhadap pertanyaan guru saat berada dalam pasangan.

19. TPW (Think Pairs Write)

Tipe model pembelajaran kooperatif TPW (Think Pairs Write) juga merupakan variasi dari model pembelajaran kooperatif tipe TPS (Think Pairs Share). Penekanan model pembelajaran kooperatif tipe ini adalah setelah mereka berpasangan, mereka diminta untuk menuliskan jawaban atau tanggapan terhadappertanyaan yang telah diberikan oleh guru. Model pembelajaran kooperatif tipe TPW ini sangat cocok untuk pelajaran menulis.

20. Tea Party (Pesta Minum Teh)

Pada model pembelajaran kooperatif tipe tea party, siswa membentuk dua lingkaran konsentris atau dua barisan di mana siswa saling berhadapan satu sama lain. Guru mengajukan sebuah pertanyaan (pada bidang mata pelajaran apa saja) dan kemudian siswa mendiskusikan jawabannya dengan siswa yang berhadapanan dengannya. Setelah satu menit, baris terluar atau lingkaran terluar bergerak searah jarum jamsehingga akan berhadapan dengan pasangan yang baru. Guru kemudian mengajukan pertanyaan kedua untuk mereka diskusikan. Langkah-langkah seperti ini terus dilanjutkan hingga guru selesai mengajukan 5 atau lebih pertanyaan untuk didiskusikan. Untuk sedikit variasi dapat pula  siswa diminta menuliskan pertanyaan-pertanyaan pada kartu-kartu untuk catatan nanti bila diadakan tes.

21. Write Around (Menulis Berputar)

Model pembelajaran kooperatif tipe write around ini cocok digunakan untuk menulis kreatif atau untuk menulis simpulan. Pertama-tama guru memberikan sebuah kalimat pembuka (contohnya: Bila kamu akan berulang tahun, maka kamu akan meminta hadiah berupa...). Mintalah semua siswa dalam setiap kelompok untuk menyelesaikan kalimat tersebut. Selanjutnya mereka ia menyerahkan kertas berisi tulisannya tersebut ke sebelah kanan, dan membaca kertas lain yang mereka terima setelah diserahkan oleh kelompok lain, kemudian menambahkan satu kalimat lagi. Setelah beberapa kali putaran, maka akan diperoleh 4 buah cerita atau tulisan (bila di kelas dibentuk 4 kelompok). Selanjutnya beri waktu bagi mereka untuk membuat sebuah kesimpulan dan atau mengedit bagian-bagian tertentu, kemudian membagi cerita atau simpulan itu dengan seluruh kelas. Write around adalah modifikasi dari model pembelajaran kooperatif go around.

22. Round Robin Brainstorming atau Rally Robin

Contoh pelaksanaan model pembelajaran kooperatif Round Robin Brainstorming misalnya : berikan sebuah kategori (misalnya “nama-nama provinsi di Indonesia) untuk didiskusikan. Mintalah siswa bergantian untuk menyebutkan item-item yang termasuk ke dalam kategori tersebut.

23. LT (Learning Together)

Orang yang pertama kali mengembangkan jenis model pembelajaran kooperatif tipe Learning Together (Belajar Bersama) ini adalah David johnson dan Roger Johnson di Universitas Minnesota pada tahun 1999. Pada model pembelajaran kooperatif tipe Learning Together, siswa dibentuk oleh 4 – 5 orang siswa yang heterogen untuk mengerjakan sebuah lembar tugas. Setiap kelompok hanya diberikan satu lembar kerja. Mereka kemudian diberikan pujian dan penghargaan berdasarkan hasil kerja kelompok. Pada model pembelajaran Kooperatif dengan variasi seperti Learning Together ini, setiap kelompok diarahkan untuk melakukan kegiatan-kegiatan untuk membangun kekompakan kelompok terlebih dahulu dan diskusi tentang bagaimana sebaiknya mereka bekerjasama dalam kelompok.

24. Student Team Learning (STL - Kelompok Belajar Siswa)

Model pembelajaran kooperatif tipe student team learning ini dikembangkan di John Hopkins University – Amerika Serikat. Lebih dari separuh penelitian tentang pembelajaran kooperatif di sana menggunakan student team learning. Pada dasarnya model pembelajaran kooperatif yang satu ini sama saja dengan model pembelajaran kooperatif yang lain yaitu adanya ide dasar bahwa siswa harus bekerjasama dan turut bertanggungjawab terhadap pembelajaran siswa lainnya yang merupakan anggota kelompoknya. Pada tipe STL ini penekanannya adalah bahwa setiap kelompok harus belajar sebagai sebuah tim. Ada 3 konsep sentral pada model pembelajaran kooperatif tipe STL ini, yaitu: (1) penghargaan terhadap kelompok; (2) akuntabilitas individual; (3) kesempatan yang sama untuk memperoleh kesuksesan. Pada sebuah kelas yang menerapkan model pembelajaran ini, setiap kelompok dapat memperoleh penghargaan apabila mereka berhasil melampaui ktiteria yang telah ditetapkan sebelumnya. Akuntabilitas individual bermakna bahwa kesuksesan sebuah kelompok bergantung pada pembelajaran yang dilakukan oleh setiap individu anggotanya. Pada model pembelajaran tipe STL, setiap siswa baik dari kelompok atas, menengah, atau bawah dapat memberikan kontribusi yang sama bagi kesuksesan kelompoknya, karena skor mereka dihitung berdasarkan skor peningkatan dari pembelajaran mereka sebelumnya.

25. Two Stay Two Stray

Model pembelajaran kooperatif two stay two stray ini sebenarnya dapat dibuat variasinya, yaitu berkaitan dengan jumlah siswa yang tinggal di kelompoknya dan yang berpencar ke kelompok lain. Misalnya: (1) one stay three stray (satu tinggal tiga berpencar); dan (2) three stay one stray (tiga tinggal satu berpencar). Model pembelajaran kooperatif tipe Two Stay Two Stray dikembangkan pertama kali oleh Spencer Kagan (1990). Dengan struktur kelompok kooperatif seperti tipe two stay two stray ini dapat memberikan kesempatan kepada tiap kelompok untuk saling berbagi informasi dengan kelompok-kelompok lain.

Demikianlah 25 contoh model pembelajaran kooperatif untuk guru, semoga bermanfaat, dan salam Acakidul!!!

Contoh Metode Pembelajaran Cooperative Learning

January 19, 2011 Miss Nesaci 5 comments

Cooperative adalah mengerjakan sesuatu bersama-sama dengan saling membantu satu sama lain sebagai satu tim. Sedangkan Cooperative Learning artinya belajar bersama-sama, saling membantu antara satu sama lain dalam belajar dan memastikan bahwa setiap orang dalam kelompok mencapai tujuan atau tugas yang telah ditentukan sebelumnya (Eng Tek dalam Kanda, 2001: 27).

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa Cooperative Learning adalah menyangkut teknik mengelompokkan yang didalamnya siswa bekerja terarah pada tujuan belajar bersama pada kelompok kecil yang umumnya tediri dari empat atau lima orang.

Ada lima unsur dasar yang membedakan Cooperative Learning dengan kerja kelompok, ciri Cooperative Learning yaitu akuntabilitas individual, interaksi tatap muka, keterampilan seusia, proses kelompok dan saling ketergantungan yang positif.

Ketergantungan positif adalah perasaan diantara anggota kelompok dimana keberhasilan seseorang merupakan keberhasilan yang lainnya pula atau sebaliknya. Untuk menciptakan suasana tersebut, guru perlu merancang struktur kelompok, tugas-tugas kelompok yang memungkinkan setiap siswa untuk belajar mengevaluasi dirinya dengan teman kelompoknya dalam penguasaan dan kemampuan memahami bahan pelajaran.

Kondisi seperti ini memungkinkan setiap siswa merasa adanya ketergantungan secara positif pada anggota kelompok lainnya dalam mempelajari dan menyelesaikan tugas-tugas yang menjadi tanggung jawabnya, yang mendorong setiap anggota kelompok untuk bekerja sama.

Penyerapan model Cooperative Learning dalam pembelajaran dimaksudkan untuk memperkuat pelajaran akademik setiap anggota kelompok dengan tujuan agar para siswa lebih berhasil dalam belajar dari pada belajar sendiri. Sebagai konsekuensinya untuk menjamin bahwa setiap siswa berhasil dan benar-benar bertanggung jawab terhadap pelajarannya sendiri maka setiap siswa harus diberi tanggung jawab secara individual untuk mengerjakan bagian tugasnya sendiri dan mengetahui apa yang telah ditargetkan dan yang harus dipelajari. Oleh karena itu, unsur terpenting yang harus dipahami oleh para guru adalah apabila tugas dibagi dalam kelompok jangan sampai hanya diperiksa/dievaluasi atau tidaknya tugas itu dikerjakan secara kelompok, melainkan harus terjadi interdepensi tugas antara kelompok karena tujuan Cooperative Learning bukan terselesaikannya tugas-tugas kelompok, tetapi para siswa belajar dalam kehidupan kelompok yang mampu saling membelajarkan antar anggota kelompoknya

Ketergantungan yang positif dalam Cooperative Learning akan memotivasi para siswa untuk bertanggung jawab terhadap keberhasilan temannya, kemampuan untuk saling mempengaruhi dalam membuat alasan dan kesimpulan antara satu dengan yang lain, social modeling, dukungan social, apabila guru dalam menstruktur kelompok dalam bentuk interaksi tatap muka. Interaksi tatap muka selain memberikan motivasi yang penting bagi performans seorang siswa juga akan meningkatkan saling mengetahui keberhasilan akademik setiap siswa dan personal masing-masing. Cara ini akan mendukung dan memperkuat makna ketergantungan yang positif dan mempermudah siswa untuk mempromosikan keberhasilan siwa yang lain sebagai keberhasilan kelompok.

Penguasaan keterampilan sosial dalam Cooperative Learning perlu dimiliki para siswa terutama dalam menyelesaikan tugas-tugas kelompok. Namun karena para siswa baru saja ditempatkan dalam kelompok-kelompok dan diharapkan dapat menerapkan keterampilan sosial yang tepat, maka tidak secara otomatis mereka akan mampu menerapkannya dengan baik. Sedangkan dalam Cooperative Learning para siswa dituntut untuk memiliki kemampuan interaksi seperti mengajukan pendapat, mendengarkan opini teman, menampilkan kepemimpinan, kompromi, negoisasi dan klasifikasi secara teratur untuk menyelesaikan tugas-tugasnya. Oleh karena itu, untuk memenuhi persyaratan tersebut, guru perlu menerangkan dan mempraktekkan tingkah laku dan sikap-sikap interaksi sosial yang diharapkan untuk dilakukan.

Proses kelompok terjadi ketika anggota kelompok mendiskusikan seberapa baik mereka mencapai tujuan dan memelihara kerjasama yang efektif. Para siswa perlu mengetahui tingkat-tingkat keberhasilan pencapaian tujuan dan efektivitas kerjasama yang telah dilakukan.

Untuk memperoleh informasi itu, para siswa perlu mengadakan perbaikan-perbaikan secara sistematis tentang bagaimana mereka telah bekerja sama sebagai satu tim, dalam hal :

• Seberapa baik tingkat pencapaian tujuan kelompok
• Bagaimana mereka saling membantu satu sama lain
• Bagaimana mereka bersikap dan bertingkah laku positif untuk memungkinkan setiap individu dan kelompok secara keseluruhan menjadi berhasil, dan
• Apa yang mereka butuhkan untik melakukan tugas-tugas yang akan datang supaya lebih berhasil.

Sesuai dengan filosofi kontruktivisme, bahwa dalam proses pembelajaran guru tidak mendokrinasi gagasan saintifik, sehingga sistem perubahan gagasan siswa adalah siswa itu sendiri. Guru hanya berperan sebagai fasilitator, penyedia “kondisi” supaya proses pembelajaran dalam upaya memperoleh konsep pengukuran volume berlangsung benar. Beberapa pola yang harus dikembangkan oleh guru yang mengacu kepada Cooperative Learning sesuai dengan filosofi kontruktivisme adalah :

• Guru mengarahkan siswa untuk melaksanakan diskusi kelompok
• Mendorong siswa untuk mengadakan penelitian sederhana lewat alat peraga yang dimanipulasi
• Guru mendorong siswa untuk melaksanakan kegiatan praktis dan memberi peluang untuk mempertanyakan dan memodifikasi serta mempertajam gagasannya

SPM (contoh penggunaan cooperative learning)

Contoh Penggunaan Cooperative Learning dalam Matematika

Contoh 1:

Topik : Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Tingkat : 1. Berlatih menentukan KPK dan FPB jika sepasang bilangan diketahui.

        2. Berlatih menentukan hubungan antara KPK, FPB, dan hasil kali sepasang bilangan.

        3. Berlatih mencatat data secara sistematis

        4. Melihat pola melalui analisis data.  

Ukuran kelompok: 4 orang siswa.

Bahan-bahan yang diperlukan untuk setiap kelompok:

        1. 4 buah fotocopy lembar masalah.

        2. 1 lembar untuk catatan hasil.

        3. 1 buah amplop berisi 12 lembar kertas yang masing-masing memuat sepasang bilangan.

Catatan-catatan guru:

l  Menunjuk seorang pembaca dan seorang pencatat untuk setiap kelompok.

l  Menunjuk seorang juru bicara setiap kelompok jika dipandang setiap kelompok perlu mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas.

l  Ada pasangan-pasangan bilangan (m,n) yang merupakan relative prime. 1 adalah FPB-nya. Bilangan-bilangan itu diantaranya adalah (1,3), (2,3), (3,5), (6,11), dan (8,15)

l  Ada pasangan-pasangan bilangan (m,n) yang mempunyai FPB lebih besar dari pada 1. Bilangan-bilangan itu diantaranya adalah (3,6), (6,8), (8,12), (12,15), (10,12), (30,45), (3,645), dan (15, 65).