Rumus-Rumus Trigonometri (plus trik)

Tuesday, April 29th 2014. | rumus matematika

Rumus-Rumus Trigonometri – Dulu kami pernah membuat postingan tentang rumus trigonometri SMA seperti trigonometri sudut ganda, selisih sudut, dan penjumlahan sudut. Kali ini kita akan belajar mengingat kembali apa itu trigonometri dan rumus (aturan) apa saja yang ada di dalamnya. Buat sebagian sobat hitung di rumah, trigonometri mungkin jadi materi dalam kategori susah dan ngga begitu disukai. Ah, kadang kita tida begitu serius PDKTnya, sehingga kita ngga begitu terasa rasa sukanya. Buat menambah PDKT kita tidak ada salahnya kita simak takjim sajian berikut.

Apa itu Trigonometri

Kalau sobat ditanya apa itu trigonometri kira-kira mau menjawab apa hayooo. Sobat, ternyata trigonometri berasal dari bahasa yunani “trigonon” yang bermakna segitiga dan “metron” yang berarti pengukuran. Trigonometri muncul di awal abad ke-3 masehi. Ia adalah salah satu cabang dari ilmu hitung (matematika) yang mempelajari segitiga meliputi semua aturan dalam penghitungan yang melibatkan sisi dan sudut dalam segitiga.

Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cotangen (cot), secan (sec), dan cosecan (cosec). Untuk lebih memahami definisi trigonometri yuk simak gambar segitiga di bawah ini.

Rumus Trigonometri	Keterangan
Sin α   = b/c	sisi depan dibagi sisi miring
Cos α  = a/c	sisi samping dibagi sisi miring
Tan α  = b/a	sisi depan dibagi sisi samping
Cot α  = a/b	sisi samping dibagi sisi depan (kebalikan dari tangen)
Sec α  = c/a	sisi miring dibagi sisi samping (kebalikan dari cos)
Cosec α  = c/b	sisi miring dibagi sisi depan (kebalikan dari sin)

Nilai Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa

Dalam trigonometri ada lima (kaya poweranger) sudut yang disebut sebagai sudut istimewa yaitu 0^o, 30^o, 45^o, 60^o, dan 60^o. Penting bagi kita untuk mengetahui besarnya nilai trigonometri sudut-sudut tersebut karena rajin sekali muncul dalam soal ulangan atau ujian nasional. Rangkuman lengkap tentang nilai trigonometri dari sudut tersebut bisa di baca di tabel trigonometri sudut istimewa.

Rumus-Rumus Identitas Trigonometri

Nah ada istilah baru lagi ni, “identitas trigonometri”.  Apa coba itu? Identitas trigonometri adalah sifat unik yang hanya dimiliki oleh trigonometri seperti sifat anomali pada air. Sifat itu hanya miliknya. Kalau dikelompokkan, sifat identitas ini bisa di bagi menjadi 3 kelas. Kelas yang pertama adalah identitas pebandingan, kelas kedua identitas kebalikan, dan yang terakhir identitas phytagoras. Berikur rumus trigonometri tersebut

Identitas Perbandingan	Indentitas Kebalikan	Indentitas Phytagoras

Relasi Sudut dalam Trigonometri

Dalam trigonometri, ada relasi atar sudut-sudut. Sudut-sudut di kuadran II (90^o-180^o), kuadran III (180^o-270^o) dan kuadran IV (270^o-360^o) punya relasi dengan sudut-sudut di kuadran I (0^o-90^o). Berikut rumus-rumus sudut berelasi dalam trigonometri berikut trik untuk menghapalnya.

1. (180o –  α) –> Kuadran IIsin (180o –  α) = sin α cos (180o –  α) = -cosα tan (180o –  α) = sin α	6. (90o –  α) –> Kuadran Isin (90o –  α) = cos α cos (90o –  α) = sin α tan (90o –  α) = cot α
2. (180o +  α) –> Kuadran IIIsin (180o +  α) = -sin α cos (180o +  α) = -cosα tan (180o +  α) = sin α	7. (90o +  α) –> Kuadran IIsin (90o +  α) = cos α cos (90o +  α) = -sin α tan (90o +  α) = -cot α
3. (360o –  α) –> Kuadran IVsin (360o –  α) = -sin α cos (360o –  α) = cosα tan (360o –  α) = -sin α	8. (270o –  α) –> Kuadran IIIsin (270o –  α) = -cos α cos (270o –  α) = -sin α tan (270o –  α) = cot α
4. (360o +  α) –> Kuadran Isin (360o +  α) = sin α cos (360o +  α) = cosα tan (360o +  α) = sin α	9. (270o +  α) –> Kuadran IVsin (270o +  α) = -cos α cos (270o +  α) = sin α tan (270o +  α) = -cot α
5. untuk sudut (-α) –> Kuadran IVsin (-α) = -sin α cos (-α) = cosα tan (-α) = -sin α
Rumus Cepat	Rumus Cepat
Pola (lihat di kanan tanda =)Sin → Sin Cos → Cos Tan → Tan	Pola (lihat di kanan tanda =)Sin → Cos Cos → Sin Tan → Cot
Penentuan +/- dilihat dari Kuadran, aturannya yang POSITIFKuadran I = All (semua)Kuadran II = hanya SINKuadran III = hanya TAN Kuadran IV = hanya COS sobat bisa mengingatnya ALL SIN TAN COS

Jadi yang perlu sobat lakukan adalah menghafal pola dari sudut istimewa yang kelipatan 180o dan 90o kemudian tentukan hasilnya apakah positif atau negatif dengan menggunkan aturan ALL SIN TAN COS. Contoh soalnya seperti berikut

Sobat ditanya berapa nilai sin 120^o? sobat dapat menggunakan trik rumus trigonometri di atas.
Cara I
ingat, 120 = 90 + 30, jadi sin 120^o dapat dihitung dengan
Sin 120^o = Sin (90^o + 30^o) = Cos 30^o (nilainya positif karena soalnya adalah sin 120^o, di kuadran 2, maka hasilnya positif)
Cos 30^o = ½ √3
Cara II
sobat bisa juga menggunakan rumus lain untuk soal trigonometri tersebut, 120^o nilanya juga sama seperti 180^o-80^o.
Sin 120^o = Sin (180^o – 60^o) = sin 60^o = ½ √3
sama kan sobat hasilnya, hehehe

Demikian sobat sajian kami tentang rumus trigonometri. Semoga bermanfaat. Untuk materi trigonometeri yang lain seperti grafik dan fungsi trigonometri dan pengukuran sudut akan kita sambung di postingan berikutnya. Selamat belajar. Buat orang tuamu bangga…

KONGRUENSI LINEAR bab 4

BAB IV

KONGRUENSI LINEAR

4.1 Kongruensi Linear 

          Kongruensi mempunyai beberapa sifat yang sama dengan persamaan dalam Aljabar. Dalam Aljabar, masalah utamanya adalah menentukan akar-akar persamaan yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = 0, f(x) adalah polinomial. Demikian pula halnya dengan kongruensi, permasalahannya adalah menentukan bilangan bulat x sehingga mememnuhi kongruensi

 f(x)  0 (mod m)

Definisi 4.1

Jika r₁, r₂, r₃, ... r_m adalah suatu sistem residu lengkap modulo m. Banyaknya selesaian dari kongruensi f(x)  0 (mod m) adalah banyaknya r_i sehingga f(r_i)  0 (mod m)

Contoh:

1.    f(x) = x³ + 5x – 4  0 (mod 7)

Jawab

Selesaiannya adalah x = 2, karena

f(2) = 2³ + 5(2) – 4 = 14  0 (mod 7)

Ditulis dengan x  2 (mod 7).

Untuk mendapatkan selesaian kongruensi di atas adalah dengan mensubstitusi x dari 0, 1, 2, 3, ...., (m-1).

2.    x³ –2x + 6   0 (mod 5)

Jawab

Selesaiannya adalah x = 1 dan x = 2, sehingga dinyatakan dengan

x  1 (mod 5) dan x  2 (mod 5).

3.    x² + 5  0 (mod 11)

Jawab

Tidak mempunyai selesaian, karena tidak ada nilai x yang memenuhi kongruensi tersebut.

          Bentuk kongruensi yang paling sederhana adalah kongruensi yang berderajat satu dan disebut dengan kongruensi linear. Jika dalam aljabar kita mengenal persamaan linear yang berbentuk ax = b, a 0, maka dalam teori bilangan dikenal kongruensi linear yang mempunyai bentuk ax  b (mod m).

 

Definisi 4.2

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear mempunyai bentuk umum ax  b (mod m), dengan a,b,m  Z , a 0, dan m > 0.

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear mempunyai bentuk umum ax  b (mod m), dengan a,b,m  Z , a 0, dan m > 0.

 

Teorema 4.1

Kongruensi linear ax  b (mod m), dengan a,b,m  Z , a 0, dan m > 0. dapat diselesaikan jika d = (a,m) membagi b. Pada kasus ini memiliki selesaian. Jika (a,m) = 1, maka kongruensi linear ax  b (mod m) hanya mempunyai satu selesaian.

Bukti.

Kongruensi linear ax  b (mod m) mempunyai selesaian, berarti m │ax – b.

Andaikan  d ┼b.

d = (a,b) → d │a   → d │ax.

d │ax. dan d ┼b  → d ┼ ax – b.

d= (a,m) → d │m.

d │m  dan d ┼b  → m ┼ ax – b.

m ┼ ax – b bertentangan dengan m │ax – b, Jadi d │b.

Diketahui d │b dan d = (a,m) → d │a   → d │m.

d │a  , d │m, dan d │b → , , dan   Z.

ax  b (mod m) → m │ax – b.

m │ax – b dan , ,  →│( - )

│ -  →    (mod ).

Misal selesaian kongruensi    (mod ) adalah x  x_o; x_o < , maka sebarang selesaiannya berbentuk x = x_o + k., k  Z, yaitu:

x = x_o + k., x = x_o + k., x = x_o + k., ..... , x = x_o + k..

dimana seluruhnya memenuhi kongruensi dan seluruhnya mempunyai d selesaian.

Jika (a,d) = 1, maka selesaiannya didapat x = x_o yang memenuhi kongruensi dan mempunyai satu selesaian.

Contoh:

1.    7x  3 (mod 12)

Jawab

Karena (7,12) = 1, atau 7 dan 12 relatif prima  dan 1 │ 3 maka 7x  3 (mod 12)

Hanya mempunyai 1 selesaian yaitu x  9 (mod 12)

2.    6x  9 (mod 15)

Jawab

Karena (6,15) = 3 atau 6 dan 15 tidak relatif prima dan 3│ 9, maka kongruensi di atas mempunyai 3 selesaian (tidak tunggal).

Selesaian kongruensi linear 6x  9 (mod 15) adalah

x  9 (mod 15),  x  9 (mod 15), dan x  14 (mod 15).

3.    12x  2 (mod 18)

Jawab

Karena (18,12) = 4 dan 4 ┼ 2, maka kongruensi 12x  2 (mod 18) tidak mempunyai selesaian.

4.    144x  216 (mod 360)

Jawab

Karena (144,360) = 72 dan 72│ 216, maka kongruensi 144x  216 (mod 360) mempunyai 72 selesaian.

Selesaian tersebut adalah x  4 (mod 360), x  14 (mod 360), .... , x  359 (mod 360).

5.    Bila kongruensi 144x  216 (mod 360) disederhanakan dengan menghilangkan faktor d, maka kongruensi menjadi 2x  3 (mod 5). Kongruensi 2x  3 (mod 5) hanya mempunyai satu selesaian yaitu x  4 (mod 5).

          Pada kongruensi ax  b (mod m) jika nilai a,b, dan m besar, akan memerlukan penyelesaian yang panjang, sehingga perlu disederhanakan penyelesaian tersebut.

ax  b (mod m) ↔ m│ (ax –b) ↔ (ax-b) = my, y  Z.

ax – b = my  ↔ my + b = ax ↔ my  - b (mod a) dan mempunyai selesaian y_o.

Sehingga dari bentuk my + b = ax dapat ditentukan bahwa my_o + b adalah kelipatan dari.

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk:

my_o + b = ax ↔ x_o =

Contoh.

1.    Selesaikan kongruensi  7x  4 (mod 25)

Jawab

      7x    4 (mod 25)

      25y  -4 (mod 7)

      4y   -4 (mod 7)

        y    -1(mod 7)

        y_o = -1 sehingga x_o =  = -3

     Selesaian kongruensi linear di atas adalah

     x  -3 (mod 25)

     x  22 (mod 25)

2.    Selesaikan kongruensi  4x  3 (mod 49)

Jawab

      4x    3 (mod 49)

      49y  -3 (mod 4)

      4y   -3 (mod 4)

        y    -3 (mod 7)

        y_o = -3 sehingga x_o =  = -36

     Selesaian kongruensi linear di atas adalah

     x  -36 (mod 49)

     x  13 (mod 25)

Cara di atas dapat diperluas untuk menentukan selesaian kongruensi linear dengan

Menentukan y_o dengan mencari z_o

Menentukan w_o dengan mencari w_o

Menentukan v_o dengan mencari w_o, dan seterusnya.

Contoh

1.    Selesaikan kongruensi  82x  19 (mod 625)

Jawab

      82x    19 (mod 625)

      ----------------------------

      625y  -19 (mod 82)

        51y  -19 (mod 82)

     -----------------------------

        82z  19 (mod 51)

        31z  19 (mod 82)

     -----------------------------  

        51v  -19 (mod 31)

        20v  -19 (mod 31)

     -----------------------------

       31w  19 (mod 20)

        11w  19 (mod 20)

     -----------------------------

        20r  -19 (mod 11)

          9r  -19 (mod 11)

          9r   3 (mod 11)

     -----------------------------

      11s   -3 (mod 9)

        2s  -3 (mod 9)

     -----------------------------

       9t  3 (mod 2)

        t  3 (mod 2)

     -----------------------------

Jadi to = 3, sehingga:

s_o = (9t_o-3)/2 = (27-3)/2 = 12

r_o = (11s_o+3)/9 = (132+3)/9 = 15

w_o = (20r_o+19)/11 = (300+19)/11 = 29

v_o = (31w_o-19)/20 = (899-19)/20 = 44

z_o = (51v_o+19)/31 = (2244 +19)/31 = 73

y_o = (82z_o-19)/51 = (5986-19)/51 = 117

x_o = (625y_o+19)/82 = (73126+19)/82 = 892

Selesaian kongruensi di atas adalah

x  892 ( mod 625) atau x  267 ( mod 625)

 

Teorema 4.2  

Jika (a,m) = 1 maka kongruensi linear ax  b (mod m) mempunyai selesaian x = a^(m)-1b, dimana (m) adalah banyaknya residu didalam sistem residu modulo m tereduksi.

Bukti.

Menurut teorem Euler jika (a,m) = 1 maka a^(m)-1 = 1.

ax  b (mod m)

a. a^(m)-1 .x  b a^(m)-1 (mod m)

a ^(m)    b a^(m)-1 (mod m)

Karena a ^(m)  1 (mod m)  dan  a ^(m)  x  b a^(m)-1 (mod m)

Maka 1.x   b a^(m)-1 (mod m)

x   b a^(m)-1 (mod m)

x   a^(m)-1 b (mod m)

Contoh

1. Selesaikan  5x    3 (mod 13)

    Jawab

    Karena (5,13) = 1

    Maka kongruensi linear 5x    3 (mod 13) mempunyai selesaian

    x  3.5 ^{(13) –1} (mod 13)

         3.5 ^{12 –1} (mod 13)

            3.(5² )⁵.5 (mod 13)

            3.(-1)⁵  5 (mod 13), karena 5²  -1 (mod 13)

            11 (mod 13)

4.2 Kongruensi Simultan

Sering kita dituntut secara simultan untuk menentukan selesaian yang memenuhi sejumlah kongruensi. Hal ini berarti dari beberapa kongruensi linear yang akan ditentukan selesaiannya dan memenuhi masing-masing kongruensi linear pembentuknya.

Contoh

1.    Diberikan dua kongruensi (kongruensi simultan)

x  3 (mod 8)

x  7 (mod 10)

Karena x  3 (mod 8), maka  x = 3 + 8t (tZ).

Selanjutnya x = 3 + 8t  disubstitusikan ke x  7 (mod 10), maka diperoleh

3 + 8t  7 (mod 10) dan didapat

8t  7-3 (mod 10)

8t  4 (mod 10)

Karena (8,10) = 2 dan 2 │4 atau 2 │7-3, maka kongruensi 8t  4 (mod 10) mempunyai dua selesaian bilangan bulat modulo 10 yaitu

8t  4 (mod 10)

4t  2 (mod 5)

t  3 (mod 5)

Jadi t  3 (mod 5) atau  t  8 (mod 10)

Dari t  3 (mod 5)  atau t = 3 + 5r (rZ) dan t  8 (mod 10) atau x = 3 + 8t

Selanjutnya dapat dicari nilai x sebagai berikut:

x = 3 + 8t

   = 3 + 8(3+5r)

   = 3 + 24 + 40r

   = 27 + 40r atau x  27 (mod 40) atau x  27 (mod [8,10])

2.    Diberikan kongruensi simultan

x  15 (mod 51)

x  7 (mod 42)

Selesaian

Karena (51,42) = 3  dan 15/ 7 (mod 3) atau 3 ┼ 15 –7 , maka kongruensi simultan di atas tidak mempunyai selesaian.

Teorema 4.3

Kongruensi simultan

x  a (mod m)

x  b (mod n)

dapat diselesaikan jika

a  b (mod (m,n)) dana memiliki selesaian tunggal

x  x_o (mod [m,n])

Bukti

Diketahui

x  a (mod m)

x  b (mod n)

Kongruensi pertama  x  a (mod m) → x = a + mk, k Z.

Kongruensi kedua harus memenuhi a + mk  b (mod n) atau mk  b-a (mod n)

Menurut teorema sebelumnya mk  b-a (mod n) dapat diselesaikan jika

d │b-a, d = (m,n) atau dengan kata lain kondisi kongruensi a  b (mod (m,n)) harus dipenuhi.

d = (m,n) → d │ m dan d │m.

Jika  d│ m dan d │m maka , ,   Z.

, ,   Z dan mk  b-a (mod n) mengakibatkan

   ( mod )

Dari teorema sebelumnya jika d = (m,n) maka (, ) = 1

Jika (, ) = 1 dan    ( mod ), maka

   ( mod ) mempunyai 1 selesaian.

Misalkan selesaian yang dimaksud adalah k = k_o sehingga selesaian kongruensi adalah

k  k_o (mod ) atau k = k_o + r, r  Z.

Karena x = a = mk dan k = k_o + r, maka

x = a + mk

   = a + m (k_o + r)

   = ( a + m k_o + r)

  = ( a + m k_o ) + [m,n].r ; sebab [m,n](m,n) = m.n

  = x_o  + [m,n]r, sebab  x_o = ( a + m k_o )

  = x_o  (mod  [m,n]) 

4.3 Teorema Sisa China 

Dalil 4.4

Jika m₁, m₂, m₃, ... , m_r  Z+, dan (m_i,m_j) = 1 untuk i j, maka kongruensi simultan :

x  a₁ ( mod m₁)

x  a₂ ( mod m₂)

x  a₃ ( mod m₃)

.........................

.........................

x  a_r ( mod m_r)

Mempunyai selesaian persekutuan yang tunggal :

x    a_jb_j (mod [m₁,m₂,m₃,...,m_r]

Bukti

Misal m = m₁, m₂, m₃, ... , m_r

Karena  ( j = 1,2,3, ... , r) adalah bilangan bulat yang tidak memuat m_j, serta (m_i,m_j) =1 untuk i j maka  = 1.

Menurut dalil jika  = 1, maka kongruensi linear 1 (mod m_j) mempunyai 1 selesaian. Karena  masih memuat m_i, maka untuk i j

berlaku   0 (mod m_j).

Dengan memilih t =  a_jb_j , maka

t =  +  + ... +  + ... +

Dalam modulo m_i (i=1,2,3,..., r) t dapat dinyatakan dengan

t  (  +  + ... +  + ... + ) (mod m_i)

t    (mod m_i) + (mod m_i)  + ... +  (mod m_i) + ... + ) (mod m_i)

Karena   1 (mod m_j) dan untuk i j berlaku   0 (mod m_j) maka diperoleh:

  0 (mod mi) untuk i = 1,2,3,..., r. sehingga

  0 (mod mi) untuk i = 1,2,3,..., r.

Jadi t  0 (mod m_i) + 0 (mod m_i) + ...+ a_i (mod m_i) + ... + 0 (mod m_i)

      t  a_i (mod m_i).

Karena i = 1,2,3, ... , r maka

      t  a₁ (mod m₁)

      t  a₂ (mod m₂)

      t  a₃ (mod m₃)

     ......................

      t  a_r (mod m_r).

Hal ini berarti memenuhi semua kongruensi x  a_i (mod m_i). Dengan kata lain t merupakan selesaian persekutuan dari semua kongruensi linear simultan tersebut.

Contoh

1. Tentukan selesaian kongruensi simultan linear berikut:

x  5 (mod 8)

x  3 (mod 7)

x  4 (mod 9)

Jawab

Diketahui a₁ = 5, a₂ = 3, a₃ = 4 dan m₁ = 8, m₂ = 7, m₃ = 9.

Sehingga m = 8.7.9 = 504

(m₁,m₂) = 1, (m₁,m₃) = 1, (m₂,m₃) = 1.

Jadi kongruensi linear simultan memenuhi syarat untuk diselesaikan dengan teorema sisa China

  1 (mod m₁)   b₁  1 (mod 8)

                                   67 b₁  1 (mod 8)

                                        b₁  7

Dengan cara yang sama diperoleh b₂ = 4 dan b₃ = 5 

Jadi x =   a_jb_j

      x = 63.7.5 + 72.4.3 + 56.5.4

         = 4186

     x  4186 (mod [8.7.9])

     x   157 (mod 504)

2. Tentukan selesaian kongruensi

    19x  1 (mod 140)

Jawab

Karena 140 = 4.5.7 , maka kongruensi dapat dipilah menjadi kongruensi   simultan yaitu

19x  1 (mod 4)

19x  1 (mod 5)

19x  1 (mod 7)

Selanjutnya dapat disederhanakan menjadi

    x   3 (mod 4)

    x   4 (mod 5)

    x   3 (mod 7)

Dengan cara seperti contoh 1 di atas diperoleh

x = 899

x  899 (mod 140)

x  59 (mod 140)

Soal-soal

1.    Tentukan selesaian kongruensi linear di bawah ini

a.    3x       2 (mod 5)

b.    7x       4 (mod 25)

c.    12x     2 (mod 8)

d.    6x       9 (mod 15)

e.    36x     8 (mod 102)

f.     8x       12 (mod 20)

g.    144x         216 (mod 360)

2.    Tentukan selesaian kongruensi simultan berikut ini.

a.    12 x     3 (mod 15)

      10 x    14 (mod 8)

b.     x         5 (mod 11)

      x         3 (mod 23)

3. Selesaiakan kongruensi linear dengan metode my_o + b = ax

     ↔ x_o = :

a.    353x      19 ( mod 400)

b.    49x      5000 ( mod 999)

c.    589x     209 ( mod 817)

4. Selesaikan kongruensi linear simulat berikut dengan teorema sisa China.

a.  x  1 (mod 3)

    x   1 (mod 5)

    x   1 (mod 7)

b.    x  2 (mod 3)

    x   3 (mod 5)

    x   5 (mod 2) 

c.    x  1 (mod 4)

    x   0 (mod 3)

    x   5 (mod 7) 

d.    x  1 (mod 3)

    x   2 (mod 4)

    x   3 (mod 5) 

e. 23x  17 (mod 180)