STATISTIK

ppt geometri

Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan

Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, · · ·}
Himpunan Bilangan Bulat: Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·}
Himpunan Bilangan Rasional: Q = { p
q
| p, q ∈ Z, q = 0}
Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnya
adalah
√
2. Apakah bilangan tersebut merupakan
bilangan rasional (periksa!).
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan
real, disimbolkan R. Jelas N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R,
1. (a, b) = { x |a < x < b} ( )
2. [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } [ ]
3. [a, b) = { x | a ≤ x < b} [ )
4. (a, b] = { x |a < x ≤ b } ( ]
5. (a,∞) = { x |x > a} (
6. [a,∞) = { x | x ≥ a }
7. (−∞, b) = { x |x < b}
8. (−∞, b] = { x | x ≤ b }
9. (−∞,∞) = R
Hati2: −∞dan∞bukan bilangan real, jadi tidak pernah termasuk dalam subset bilangan real.
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Polinom / Suku Banyak
Bentuk umum: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, dengan
n bilangan asli, a0, a1, · · · , an bilangan2 real (disebut koefisien dari polinom),
dan x bilangan real yang belum ditentukan (variabel).
Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.
Contoh: p(x) = x4 − 2x3 − 7x2 + 8x + 12, derajat p(x) adalah 4.
Bilangan real t disebut akar dari polinom p(x) bila p(t) = 0.
Pada contoh terakhir, t = 2 adalah akar p(x),
sebab p(t) = p(2) = 24 − 2 · 23 − 7 · 22 + 8 · 2 + 12 = 0
Polinom Linear/Derajat Satu: p(x) = ax+b, a = 0 akarnya x = −b
a .
Polinom Kuadrat/Derajat Dua: p(x) = ax2 + bx + c, a = 0.
Akar-akarnya x1 = −b+
√
D
2a dan x2 = −b−
√
D
2a dengan D = b2− 4ac
Diskriminan
Di sini ada tiga kemungkinan akar:
• D > 0, Dua akar real berbeda (x1 = x2).
• D = 0, Dua akar kembar (x1 = x2).
• D < 0, tidak ada akar real.
Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila a > 0 grafik cekung
ke atas (membuka ke atas) sebaliknya bilaa < 0 grafinya cekung ke bawah.
BilaD < 0 dana > 0 polinom disebut definit positif (ilustrasikan grafiknya!).
Bila D < 0 dan a < 0 polinom disebut definit negatif.
Sifat: Setiap polinom derajat n > 2 dapat difaktorkan atas faktor-faktor
linear / kuadrat definit. (Bukti, bonus !!!).
Contoh: p(x) = x6 − 1
= (x3 − 1) (x3 + 1)
= (x − 1) (x2 + x + 1) (x + 1) (x2 − x + 1)
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Pertaksamaan Rasional
Bentuk umum:
A(x)
B(x) < C(x)
D(x)
A(x),B(x), C(x), dan D(x) masing-masing polinom.
Catatan: Tanda < dapat juga berupa ≤ , > atau ≥
Contoh: x3+1
x2−2x+8
≥ 3x
x5+3x−4
Himpunan dari semua titik x ∈ R yang ’memenuhi’ pertaksamaan tersebut
disebut solusi.
Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:
(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari x+1
2−x
≥ x
x+3)
1. Tentukan ’daerah definisi’ dari pertaksamaan tersebut
2. Tambahkan kedua ruas dengan −C(x)
D(x), shg. diperoleh bentuk P(x)
Q(x) < 0
3. Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor ’linier’ & ’kuadrat definit’.
4. Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x).
• • •
5. Pada setiap ’subinterval’ yang terbentuk, ambil satu buah titik dan
periksa tanda dari P(x)
Q(x)
+ • - • - • +
6. Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.
Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda
dari P(x)
Q(x) sepanjang suatu subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu
titik saja ? Jelaskan !
Latihan: Tentukan solusi dari: 2 ≤ x2 −x < 6
Hati-Hati:
• Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanya
ilustrasi: 1
x−1 < 1.
• Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi: (x−3)3 (x+1)
(x−3)2
≤ 0.
Harga Mutlak
Misalkan x ∈ R. Harga mutlak dari x, ditulis |x| =

−x x≤ 0
x x>0
Contoh: |3| = 3, | − 4| = 4, |0| = 0.
Sifat2: Misalkan a dan b bilangan-bilangan real,
1. |ab| = |a| |b|
2. ab=|a||b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b| ilustrasi |3 + (−4)| ≤ |3| + | − 4|.
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Latihan:
1. Tuliskan tanpa tanda mutlak: (a) |x − 4| (b) |x + 2| + |x + 3|
2. Tentukan solusi dari (a) |x − 3| = x − 3 (b) |x − 1| = 2.
Akar Kuadrat
Misalkan x ≥ 0. Akar kuadrat dari x, ditulis
√
x adalah bilangan real
non-negatif a sehingga a2 = x.
Ilustrasi: (a)
√
9 = 3, (b)
(−4)2 = 4.
Secara umum : Bila b ∈ R maka
√
b2 = |b|.
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Pertaksamaan yang memuat nilai mutlak dan akar kuadrat
Sifat2 (buktikan/ilustrasikan !):
• |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
• |x| > a ⇐⇒ x < −a atau x > a
Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat nilai mutlak / akar
kuadrat, usahakan menghilangkan nilai mutlak / akar kuadratnya, lalu
diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional.
Contoh2:
1. |x − 4| ≤ 1.5
2. |2x + 3| ≤ |x − 3|
3. Benarkah pernyataan berikut ? −1 ≤ x ≤ 3 =⇒ |x| < 1
4. Tentukan bilangan positif δ supaya pernyataan berikut benar:
(a) |x − 2| < δ =⇒ |5x − 10| < 1
(b) |x − 2| < δ =⇒ |6x − 18| < 24.
5.
√
x − 1 < 1
Soal-Soal Latihan Mandiri:
1. |2x − 7| < 3
2. |2x − 3| > 3
3. |x − 2| < 3 |x + 7|
4. |x − 2| + |x + 2| > 7
5. |x − 2| + |x + 2| < 3
6. |x + 1
x
| ≤ 2
7. 1 < |x − 2| < 3
8. |x − 3| + |x − 2| + |x + 1| < 7
9. |x − 3| + |x − 2| + |x + 1| < 2
10. |x − 3| + |x − 2| + |x + 1| > 8
11. Cari bil. δ postif supaya
a. |x−5| < δ =⇒ |3x−15| < 6
b. |x−4| < δ =⇒ |3x−15| < 6
12. Tunjukan
|x| ≤ 2 =⇒ |2x2 + 3x + 2
x2 + 2
| ≤ 8
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang
Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)
Sumbu horizontal dinamakan sumbu-x (absis) dan sumbu vertikal dinamakan
sumbu-y (ordinat). Setiap pasangan terurut bilangan (a, b) dapat
digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya,
setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu
buah pasangan bilangan (a, b).
Jarak dua titik di bidang
Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya
adalah d(P,Q) =

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Garis Lurus
Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.
Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.
Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang
memenuhi persamaan tersebut.
Hal2 khusus:
• Bila A = 0, persamaan berbentuk y = −C
B , grafiknya sejajar sumbu-x.
• Bila B = 0, persamaan berbentuk x = −C
A , grafiknya sejajar sumbu-y.
• Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 ⇐⇒ y = −A
B x − C
B.
Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada
garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan
sebagai m = y2−y1
x2−x1
Buktikan bahwa m = −A
B .
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :
y − y1
y2 − y1
=
x − x1
x2 − x1
Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :
y − y1 = m(x − x1)
Misalkan garis 1 dan 2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2.
Kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m1 = m2
Kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m1 · m2 = −1 (mengapa?)

Mengenal Aljabar lebih Dalam

Matematika merupakan suatu ilmu yang pasti semua orang temui ketika mereka duduk dibangku sd, smp, sampai sma. Kalo masalah perguruan tinggi tergantung jurusan yang diambil masing-masing. Nah, mau ga mau kita juga harus mempelajari materi dalam matematika itu. Kali ini yang kita bahas yaitu mengenai Ajabar. Apa itu Aljabar?

Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari penyederhanaan serta pemecahan masalah menggunakan simbol yang menjadi pengganti konstanta atau variabel.

Unsur-Unsur Aljabar

1. Variabel, konstanta, faktor

Variabel/peubah adalah lambang pengganti suatu bilangan yang nilainya belum diketahui dengan jelas, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …, z.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar dan berupa bilangan serta tidak memuat variabel.

Jika terdapat suatu bilangan a dan dapat diubah menjadi a=p.q dimana a, p, dan q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

contoh : 7x+3y+8x-5y+6

variabel : x dan y

konstanta : 6

7x dapat diuraikan menjadi 7x=7x.1 atau 7x=7.x sehingga faktor dari7x yaitu 1, 7, x, 7x

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

Suku merupakan variabel koefisien atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan dengan operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis merupakan suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. contoh : 5x dan -3x, 2a² dan a², y dan 6y

Suku-suku tak sejenis merupakan suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

contoh : 2x dan 3x², -7y dan -x²

Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah dan selisih. contoh : 2x, 4y, …

Suku dua merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. contoh : 2x-4y, a²-5, …

Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. contoh : 2x²+3×-1, 3x+4y-xy, …

Operasi Hitung Pada Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Operasi ini hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif a(b+c)=ab+ac dan a(b-c)=ab-ac. Sifat ini juga berlaku untuk bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Dalam bilangan bulat Operasi perpangkatan dapat diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal yang sama berlaku untuk aljabar, pada perpangkatan aljabar koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga pascal.

4. Pembagian

Hasil dari pembagian dua buah bentuk aljabar diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan faktor sekutu dari masing-masing selanjutnya melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi Pada Bentuk Aljabar

Nilai dari suatu bentuk aljabar dapat diperoleh dengan mensubstitusikan sembarang bilangan pada variabel bentuk aljabar tersebut.

6. KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Dalam menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Pecahan Bentuk Aljabar

1. Menyederhanakan Bentuk Pecahan Aljabar

Pecahan bentuk aljabar dikatakan mempunyai bentuk paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1 serta penyebutnya ≠0. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar Dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan

Penjumlahan dari pecahan aljabar dilakukan dengan cara yang sama seperti halnya pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebut dari pecahan dengan cara mencari KPK nya kemudian baru dijumlahkan. Perhatikan contoh berikut.

b. Perkalian dan Pembagian

Perkalian dari pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian pecahan biasa. Perhatikan contoh berikut :

c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Perpangakatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama, hal tersebut juga berlaku dengan perpangkatan bentuk aljabar.

Itulah sedikit ulasan tentang Aljabar, semoga dapat membantu dalam pemahaman mengenai materi alajabar. Untuk materi lebih lanjut akan saya berikan pada artikel berikutnya.

Definisi dan Pengertian Limit

1. Definisi dan Pengertian Limit

1.1. Definisi Limit

Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:
Sebuah fungsi f(x) mempunyai

jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real

maka terdapat bilangan real

sedemikian hingga memenuhi:

maka

1.2. Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar

. Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut: