Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan

Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, · · ·}
Himpunan Bilangan Bulat: Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·}
Himpunan Bilangan Rasional: Q = { p
q
| p, q ∈ Z, q = 0}
Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnya
adalah
√
2. Apakah bilangan tersebut merupakan
bilangan rasional (periksa!).
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan
real, disimbolkan R. Jelas N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R,
1. (a, b) = { x |a < x < b} ( )
2. [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } [ ]
3. [a, b) = { x | a ≤ x < b} [ )
4. (a, b] = { x |a < x ≤ b } ( ]
5. (a,∞) = { x |x > a} (
6. [a,∞) = { x | x ≥ a }
7. (−∞, b) = { x |x < b}
8. (−∞, b] = { x | x ≤ b }
9. (−∞,∞) = R
Hati2: −∞dan∞bukan bilangan real, jadi tidak pernah termasuk dalam subset bilangan real.
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Polinom / Suku Banyak
Bentuk umum: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, dengan
n bilangan asli, a0, a1, · · · , an bilangan2 real (disebut koefisien dari polinom),
dan x bilangan real yang belum ditentukan (variabel).
Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.
Contoh: p(x) = x4 − 2x3 − 7x2 + 8x + 12, derajat p(x) adalah 4.
Bilangan real t disebut akar dari polinom p(x) bila p(t) = 0.
Pada contoh terakhir, t = 2 adalah akar p(x),
sebab p(t) = p(2) = 24 − 2 · 23 − 7 · 22 + 8 · 2 + 12 = 0
Polinom Linear/Derajat Satu: p(x) = ax+b, a = 0 akarnya x = −b
a .
Polinom Kuadrat/Derajat Dua: p(x) = ax2 + bx + c, a = 0.
Akar-akarnya x1 = −b+
√
D
2a dan x2 = −b−
√
D
2a dengan D
= b2− 4ac
Diskriminan
Di sini ada tiga kemungkinan akar:
• D > 0, Dua akar real berbeda (x1 = x2).
• D = 0, Dua akar kembar (x1 = x2).
• D < 0, tidak ada akar real.
Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila a > 0 grafik cekung
ke atas (membuka ke atas) sebaliknya bilaa < 0 grafinya cekung ke bawah.
BilaD < 0 dana > 0 polinom disebut definit positif (ilustrasikan grafiknya!).
Bila D < 0 dan a < 0 polinom disebut definit negatif.
Sifat: Setiap polinom derajat n > 2 dapat difaktorkan atas faktor-faktor
linear / kuadrat definit. (Bukti, bonus !!!).
Contoh: p(x) = x6 − 1
= (x3 − 1) (x3 + 1)
= (x − 1) (x2 + x + 1) (x + 1) (x2 − x + 1)
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Pertaksamaan Rasional
Bentuk umum:
A(x)
B(x) < C(x)
D(x)
A(x),B(x), C(x), dan D(x) masing-masing polinom.
Catatan: Tanda < dapat juga berupa ≤ , > atau ≥
Contoh: x3+1
x2−2x+8
≥ 3x
x5+3x−4
Himpunan dari semua titik x ∈ R yang ’memenuhi’ pertaksamaan tersebut
disebut solusi.
Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:
(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari x+1
2−x
≥ x
x+3)
1. Tentukan ’daerah definisi’ dari pertaksamaan tersebut
2. Tambahkan kedua ruas dengan −C(x)
D(x), shg. diperoleh bentuk P(x)
Q(x) < 0
3. Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor ’linier’ & ’kuadrat definit’.
4. Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x).
• • •
5. Pada setiap ’subinterval’ yang terbentuk, ambil satu buah titik dan
periksa tanda dari P(x)
Q(x)
+ • - • - • +
6. Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.
Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda
dari P(x)
Q(x) sepanjang suatu subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu
titik saja ? Jelaskan !
Latihan: Tentukan solusi dari: 2 ≤ x2 −x < 6
Hati-Hati:
• Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanya
ilustrasi: 1
x−1 < 1.
• Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi: (x−3)3 (x+1)
(x−3)2
≤ 0.
Harga Mutlak
Misalkan x ∈ R. Harga mutlak dari x, ditulis |x| =

−x x≤ 0
x x>0
Contoh: |3| = 3, | − 4| = 4, |0| = 0.
Sifat2: Misalkan a dan b bilangan-bilangan real,
1. |ab| = |a| |b|
2. ab=|a||b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b| ilustrasi |3 + (−4)| ≤ |3| + | − 4|.
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Latihan:
1. Tuliskan tanpa tanda mutlak: (a) |x − 4| (b) |x + 2| + |x + 3|
2. Tentukan solusi dari (a) |x − 3| = x − 3 (b) |x − 1| = 2.
Akar Kuadrat
Misalkan x ≥ 0. Akar kuadrat dari x, ditulis
√
x adalah bilangan real
non-negatif a sehingga a2 = x.
Ilustrasi: (a)
√
9 = 3, (b)
(−4)2 = 4.
Secara umum : Bila b ∈ R maka
√
b2 = |b|.
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Pertaksamaan yang memuat nilai mutlak dan akar kuadrat
Sifat2 (buktikan/ilustrasikan !):
• |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
• |x| > a ⇐⇒ x < −a atau x > a
Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat nilai mutlak / akar
kuadrat, usahakan menghilangkan nilai mutlak / akar kuadratnya, lalu
diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional.
Contoh2:
1. |x − 4| ≤ 1.5
2. |2x + 3| ≤ |x − 3|
3. Benarkah pernyataan berikut ? −1 ≤ x ≤ 3 =⇒ |x| < 1
4. Tentukan bilangan positif δ supaya pernyataan berikut benar:
(a) |x − 2| < δ =⇒ |5x − 10| < 1
(b) |x − 2| < δ =⇒ |6x − 18| < 24.
5.
√
x − 1 < 1
Soal-Soal Latihan Mandiri:
1. |2x − 7| < 3
2. |2x − 3| > 3
3. |x − 2| < 3 |x + 7|
4. |x − 2| + |x + 2| > 7
5. |x − 2| + |x + 2| < 3
6. |x + 1
x
| ≤ 2
7. 1 < |x − 2| < 3
8. |x − 3| + |x − 2| + |x + 1| < 7
9. |x − 3| + |x − 2| + |x + 1| < 2
10. |x − 3| + |x − 2| + |x + 1| > 8
11. Cari bil. δ postif supaya
a. |x−5| < δ =⇒ |3x−15| < 6
b. |x−4| < δ =⇒ |3x−15| < 6
12. Tunjukan
|x| ≤ 2 =⇒ |2x2 + 3x + 2
x2 + 2
| ≤ 8
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang
Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)
Sumbu horizontal dinamakan sumbu-x (absis) dan sumbu vertikal dinamakan
sumbu-y (ordinat). Setiap pasangan terurut bilangan (a, b) dapat
digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya,
setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu
buah pasangan bilangan (a, b).
Jarak dua titik di bidang
Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya
adalah d(P,Q) =

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008
Garis Lurus
Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.
Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.
Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang
memenuhi persamaan tersebut.
Hal2 khusus:
• Bila A = 0, persamaan berbentuk y = −C
B , grafiknya sejajar sumbu-x.
• Bila B = 0, persamaan berbentuk x = −C
A , grafiknya sejajar sumbu-y.
• Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 ⇐⇒ y = −A
B x − C
B.
Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada
garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan
sebagai m = y2−y1
x2−x1
Buktikan bahwa m = −A
B .
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :
y − y1
y2 − y1
=
x − x1
x2 − x1
Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :
y − y1 = m(x − x1)
Misalkan garis 1 dan 2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2.
Kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m1 = m2
Kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m1 · m2 = −1 (mengapa?)